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청춘의 독서/수학 문명을 지배하다 2012. 3. 8. 01:23
모든 것이 다 증명될 수 있는 것은 아니다. 그렇지 않으면 증명의 연쇄는 끝이 없다. 어디에선가 시작해야 하는데, 이는 일단 인정하고 들어가야 하는 그 어떤 것이지 결코 증명될 수 있는 것은 아니다. 이것들이 바로 소위 공리(公理), 즉 공동의 견해라고 불리는 것으로 모든 과학에 공통되는 제일원리인다.
유클리드는 공리를 선택하는 데 있어 대단한 통찰력과 판단력을 보여주었다. 주도적인 학파의 수학자들은 이미 자신들에게 납득 가능한 공리에서부터 자신들의 논의를 시작하였다. 수적으로 그 기여도가 높아지자 모든 수학자들이 물리적 세계에 반드시 적용될 필요도 없는 수많은 공리를 사용하는 경우가 점차 늘어나게 되었다. 또한 불필요한 공리들이 흘러넘쳐, 논리적 기준으로 볼 때 쓸 데 없는 일들이 벌어지기도 하였다. 논리적 기준으로 보면, 가능한 한 가정을 적게 하고, 이미 용인된 공리로부터 명제를 연역하는 것이 더 좋은 일이기 때문이다. 그래서 유클리드는 기하학에서 필요한 충분하면서 보편적으로 용인 가능한 공리들의 체계를 찾고자 하였다. 게다가 그리스 인들의 기하학적 탐구는 그들이 진리를 추구해 나가는 과정의 일부분이었기 때문에 이들 공리들은 의심할 수 없는 절대적 진리여야 했다. (p.71-72)
Morris Kline (1953). Mathematics in western culture. 박영훈 역(2005). 경문사
청춘의 독서/수학 문명을 지배하다 2012. 3. 5. 08:08
그리스에 와서야 비로소 수에 대한 개념이 의식적으로 인식되었을 뿐 아니라 고등 산수, 즉 수 이론인 정수론을 발달시켰다. 동시에 그들이 로지스티카(logistica)라고 불렀던, 추상에 대한 이해와는 거의 관련이 없던 단순한 계산법은 오늘날 우리가 타이프 치는 일을 멸시하는 것과 같은 방식으로 하나의 기술로써 업신여김을 받았다. 이와 마찬가지로 기하학에서도 점, 선, 삼각형, 기타 등등과 같은 것은 단지 물리적 대상에 의하여 암시만 되는 정신적 개념이 되었다. 이는 마치 부의 개념이 땅이나 건물, 보석과 다른 것처럼, 그리고 마치 시간의 개념이 하늘을 가로지른 태양의 경로를 측정하는 것과 다른 것처럼 개념을 대상에서 분리하여 구별하는 것이다. (p.54)
물질의 세계에 대한 지식에서 이데아의 세계에 대한 지식으로 옮아 가기 위해서, 인간은 스스로를 준비시켜야 한다고 말한다. 신의 영역에 있는 가장 고상한 실재로부터 오는 빛은 그것을 마주할 훈련을 받지 못한 사람의 눈을 멀게 한다. 플라톤 자신의 유명한 비유를 사용하면, 그는 마치 동굴의 깊은 어둠 속에서 계속 살아오다가 갑자기 햇빛 아래 끌려나온 사람과 똑같다. 어둠에서 빛으로 옮아가기 위한 목적에 비추어볼 때, 수학은 가장 이상적인 수단이다. 한편, 수학적 지식은 이 지구상에 놓여 있는 대상에 속하는 것이기 때문에 감각의 세계에 속한다. 겨룩ㄱ 그것은 물질의 성질에 대한 표상일 뿐이다. 그러나한편으로 이상화를 위한 지적인 추구의 수단으로만 여기게 되면, 수학은 아닌 게 아니라 그것이 묘사하고 있는 물직적 대상으로부터 분리된다. 뿐만 아니라 증명에 있어 물질적 특수한 의미는 전적으로 차단되게 마련이다. 그래서 수학적 사고는 우리의 마음이 더 높은 사고의 형식을 고찰하도록 대비시켜준다. 그것은 마음을 감각저긴 것과 소멸 간으한 것에 대한 사고로부터 끌어내어 영원한 것을 사고하도록 하으로써 마음을 정화한다. 그래서 구원으로 가는 길, 즉 진·선·미를 이해하는 길은 수학을 통하여 이어진다. 이러한 연구는 신의 마음으로 가는 초대장이다. 플라토의 말을 빌면, "기하학은 진리로 가는 영혼을 이끌며, 철한의 정신을 창조한다." 왜냐하면 기하학은 물체 그 자체에 관심을 두지 않고, 순수한 사고의 대상으로 점, 선, 삼각형, 사각형과 같은 것에 관심이 있기 때문이다. (p.56)
Morris Kline (1953). Mathematics in western culture. 박영훈 역(2005). 경문사
청춘의 독서/수학 문명을 지배하다 2012. 3. 2. 23:30
추상적인 수학적 사고의 대가인 버트런드 러셀은 다음과 같이 말한다.
제대로 보면, 수학은 최상의 아름다움, 즉 조각의 아름다움과 마찬가지로 우리의 약한 본성 어디에도 호소하지 않고, 음악이나 그림의 화려한 장식도 없지만, 숭고할 정도로 순수하며 가장 위대한 예술만이 보여줄 수 있는 그러한 엄격함과 완벽함을 완벽함을 가능하게 하는 차갑고 엄숙한 아름다움을 소유하고 있다. 최고의 탁월함이 기준이 되는 진정한 기쁨과 희열감, 인간을 초월한 듯한 느낌으로 바로 시에서와 같이 확실히 수학에서도 발견할 수가 있다.
완벽한 구조의 아름다움 외에도 증명과 결론을 창조해내는 데에 불가피하게 사용될 수밖에 없는 상상력과 직관은 숭고한 미학적 만족감을 창조자에게 선사한다. 만일 통찰과 상상력, 균형과 비례, 과잉됨의 배제와 목적에 대한 수단의 정확한 적용을 아름다움이라는 틀 속에서 이해할 수 있다면, 그리고 그것이 예술 작품의 특징이라면, 수학은 그 자체로 아름다움을 가진 예술이다. ( p18-19)
Morris Kline (1953). Mathematics in western culture. 박영훈 역(2005). 경문사
청춘의 독서/수학 문명을 지배하다 2012. 3. 2. 22:49
처음 수학에 마음을 두었을 때, 나는 수학자들이 쓴 대부분의 글을 일사천리로 읽어 나갔다. 그때 나는 수론과 기하학에 특별한 관심을 가졌는데, 이유는 그 학문이 가장 단순하고, 소위 모든 나머지 학문으로 통하는 길이라고 사람들이 말하기 때문이다. 그러나 이들 두 분야 모두 그 당시 나를 충분히 만족시킬 만한 저자를 발견할 수 없었다. 계산을 통해 참이라고 확인했던 수에 관한 많은 명제를 그들의 글에서 배울 수 있었던 것은 사실이다. 도형에 관해 말하자면, 그 글들은 어떤 의미로 보면 내 눈앞에 엄청난 양의 진리를 펼쳐 놓았으며, 특정한 결과로부터 결론을 끌어내고 있었다. 그러나 그 글들은 사물들이 왜 그러한지, 그리고 자신들이 그 사실들을 어떻게 발견했는지에 대해서는 충분히 그리고 명백하게 보여주지 못한 것 같았다. 결과적으로 많은 사람들, 심지어 재능 있는 학자들조차도 수학을 접한 후에 공허하다거나 유치하다고 제쳐두거나, 아니면 너무 어렵고 복잡하다고 생각하여 처음부터 배우기를 단념하게 됐다는 사실이 내게는 하나도 놀라울 것이 었었던 것이다. ...... 그러나 훨씬 초기 철학의 개척자들이 수학에 정통하지 않은 사람들은 지혜에 대한 연구에 입문하도록 허락하지 않은 이유가 뭘까 하고 후에 곰곰히 생각하게 되었을 때, 나는 그 개척자들이 우리 시대에 통용되는것과는 다른 방식으로 수학에 대한 지식을 가지고 있었음을 느낌으로 확신한다.
르네 데카르트
Morris Kline (1953). Mathematics in western culture. 박영훈 역(2005). 경문사
청춘의 독서 2012. 1. 27. 01:19
세상은 죽을 때까지도 전체를 다 볼 수 없을 만큼 크고 넓으며,
삶은 말할 수 없이 아름다운 축복이라는 것을.
인간은 이 세상을 위해 태어난 것이 아니라 이 세상을 살러 온 존재이며,
인생에는 가치의 우열을 가릴 수 없는 여러 길이 있다는 것을.
그리고 어느 길에서라도 스스로 인간다움을 잘 가꾸기만 하면 기쁨과 보람과 행복을 발견할 수 있다는 것을.
[유시민, 청춘의 독서, 웅진지식하우스, 2009, 8]
/* 책의 머리말에서 유시민이 딸에게 해주는 말이다. 나도 언젠가 부모가 되면 내 아이들에게 이런말을 해줘야 겠다. */
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